OnlineMathContest B014

2024년 7월 5일 진행한 OMCB 14회 대회 일지입니다. 올솔했고 전체 20등입니다.

0:00~0:01

• A번을 잡았습니다.
• $n$번째 소수가 $2n-1$이 되는 $n$의 합을 세는 문제였습니다.
• 13까지의 소수를 썼고, 3, 5, 7 말고는 안 된다는 사실을 바로 관찰할 수 있었습니다.
• 구했고 맞았습니다.
• 52초 걸렸습니다.

0:01~0:02

• B번을 잡았습니다.
• $a+b+c=101$인 홀수 $a,b,c$쌍의 개수를 구하는 문제였습니다.
• $a$가 1일 때 50가지, 2일 때 49가지임을 생각했습니다.
• 하여 $1+2+\cdots+50$을 구했고 맞았습니다.
• 1분 12초 걸렸습니다.

0:02~0:04

• C번을 잡았습니다.
• 문제를 정리해 보면, 모든 $n$에 대해 $\frac{110n+11a-b}{a}-n=1$이 성립하는 $a,b$를 구하는 문제였습니다.
• $a=110$임을 알 수 있고 풀어보면 $b=1100$입니다. 맞았습니다.
• 2분 14가 걸렸습니다.

0:04~0:07

• D번을 잡았습니다.
• 한 변의 길이가 1인 정사각형의 두 코너에 길이가 $1/3$인 원이 있을 때, 이 둘과 외접하며 반대쪽 변에 접하는 원의 반지름을 구하는 문제였습니다.
• 대충 반지름을 $x$로 두고 피타고라스를 쓰면 되는 전형적 문제입니다.
• $\sqrt{(x+\frac{1}{3})^2-\frac{1}{4}}=1-x$라는 식을 썼고, 풀었습니다. 틀렸습니다. (여기까지 2분 18초)
• 계산실수를 했다는 사실을 알아채 한 번 더 계산했고, 맞았습니다.
• 3분 30초 걸렸습니다.

0:07~0:11

• E번을 잡았습니다.
• $[\frac{10^n}{m}]=2024$가 되는 정수 $n,m$ 중 $m$의 최솟값을 구하는 문제였습니다.
• $2024m \leq 10^n \leq 2025m$임을 알 수 있었습니다.
• $n$에 적당히 6을 대입했고, $m=494$일 때 성립한다는 것을 알 수 있었습니다. (6을 대입한 것은 운빨입니다.)
• 5를 대입하면 49.4와 49.5 사이에 $10^5$가 나오기 때문에 불가능함을 알 수 있었습니다.
• 494를 제출했고 맞았습니다.
• 3분 33초 걸렸습니다.

0:11~0:13

• F번을 잡았습니다.
• $a_1=a_2=1$, $a_{i+2}=\max(a_i+a_{i+1},a_ia_{i+1})$으로 정의되는 수열 $a$에 대해, $a_i$의 약수의 개수가 5040개인 값 $a_i$를 찾는 문제였습니다.
• 첫 6개항을 적어 보았고, 그 이후로는 계속 $a_i = a_{i-2} a_{i-1}$으로 정의된다는 사실을 발견했습니다.
• 그 후로 나오는 항들을 보면 $6=2\cdot3$, $18=2\cdot3^2$, $108=2^23^3$ 정도를 쓰고 나니, 그 이후의 항은 모두 2와 3의 피보나치 수열 제곱으로 나타난다는 것을 확인할 수 있었습니다.
• $5040 = 56\cdot90$이므로 $2^{55}3^{89}$가 답이 됩니다. 제출했고 맞았습니다.
• 1분 51초 걸렸습니다.

0:13~0:17

• G번을 잡았습니다.
• 임의의 서로 다른 1 이상 9 이하의 세 수 $a,b,c$에 대해, $\overline{abc}$와 이를 재배열한 세 자리 수 6개의 공배수로 항상 가능한 값을 모두 찾아 그 합을 구하는 문제였습니다.
• $\overline{abc} - \overline{acb} = 9(b-c)$이므로, 가능한 값은 $\gcd{(9(a-b),9(b-c),9(c-a))}$의 약수입니다. 즉 18의 약수 혹은 27의 약수가 가능합니다.
• 모두 더해 제출했고 틀렸습니다. (여기까지 2분 49초)
• $\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}=111(a+b+c)$이며 이의 약수가 되어야 하므로 27은 불가능합니다.
• 제출했고 맞았습니다.
• 4분 38초 걸렸습니다.

0:17~0:28

• H번을 잡았습니다.
• 원에 내접하는 오각형 $ABCDE$의 변의 길이가 $AB$부터 2, 3, 2, 3, 2일 때, 원의 넓이를 구하는 문제였습니다.
• 한 5분 정도는 변과 각의 길이를 돌리며 어떻게 해야 풀릴까 고민했던 것 같습니다.
• 각 $CBD$와 $CAD$가 같으며 변 $BD, AC, AD$의 길이가 같습니다. 변의 길이를 $x$로 두고 각 $CBD$와 $CAD$에 대해 코사인 법칙을 돌리면 $x=4$이고 두 각의 코사인이 $7/8$임을 알 수 있습니다.
• 그렇다면 삼각형 $BCD$나 $ACD$ 등의 세 변의 길이와 각 하나의 사인값을 알고 있으므로(코사인법칙 등을 이용해 다른 각의 사인값도 모두 알 수 있습니다) 원의 반지름을 구할 수 있습니다.
• $BCD$에서 계산했습니다. 맞았습니다.
• 10분 45초 걸렸습니다.

후기

• 시험기간 버프로 잘 푼 것 같습니다. 딱히 막히는 문제도 없었고 실수가 적었습니다.
• 레이티드 말고 전체 순위로 1페이지가 찍힌 것은 처음입니다.
• 재밌네요.