OnlineMathContest B004

2024년 4월 4일 진행한 OMCB 4회 대회 일지입니다. 올솔했고 레이티드 1등을 찍었습니다. 전체 42등입니다.

0:00~0:02

• A번을 잡으려다가 발목을 책상에 박았습니다. 살이 약간 까지고 피가 났습니다.
• 옷으로 지혈하면서 A번을 잡았습니다.
• S+T+A+R=X로 두면, X+T, X+S, X-A, X-R 4가지 값이 주어진 것을 알 수 있습니다.
• 앞 2개에서 뒤 2개를 빼면 됩니다. 맞았습니다.

0:02~0:03

• B번을 잡았습니다.
• 약수가 7개인 것은 소수의 6제곱수입니다.
• $1^6+2^6+3^6$을 내서 한 번 틀리고, 1을 빼서 맞았습니다.

0:03~0:05

• C번을 잡았습니다.
• 정삼각형 안에 비틀린 정삼각형이 있는 형태의 그림이 그려집니다.
• 두 정삼각형의 변의 길이를 알고 있으므로 그 넓이도 알 수 있습니다.
• 그림이 대칭적입니다. 구했고 맞았습니다.

0:05~0:11

• D번을 잡았습니다.
• $a=180(n-2), b=n(n-3)/2$인 것을 알 수 있습니다.
• 준 부등식을 풀면 $n^2-21n+38 \leq 0$이 됩니다. 계산하면 2부터 19까지입니다.
• 더하고 틀렸습니다.
• $n\geq3$입니다. 구했고 맞았습니다.
• 대충 피가 멎은 것 같아서 밴드를 봍였습니다.

0:11~0:15

• E번을 잡았습니다.
• X의 배치로 가능한 것을 모두 세어 봐도 6가지밖에 나오지 않습니다.
• 나머지 배치를 계산합니다.
• 맞았습니다.

0:15~0:18

• F번을 잡았습니다.
• $2244!$을 소인수분해할 때, 2를 약 2200개, 3을 대략 1100개, 5를 대략 500개, 7을 대략 400개 가집니다.
• 따라서 $n$은 $2^43^25$의 약수입니다.
• 계산했고 맞았습니다.

0:18~0:23

• G번을 잡았습니다.
• $[n/i]$에서 $[(n+1)/i]$로 가는 것을 생각해 봅시다. $n+1$이 $i$의 배수이면 1 커집니다.
• 즉, $a_n-a_{n-1}$은 $n$의 약수의 개수와 같습니다.
• 따라서, 소수의 제곱 중 5000 이하에서 가장 큰 것이 $n+1$이면 됩니다.
• 맞았습니다.

0:23~0:33

• H번을 잡았습니다.
• 수심과 외심이 나왔습니다. 그럼 보통 일단 얘를 써야 합니다.
• 세르보어 정리: AH=2OM입니다. 각 AHO가 90도이므로, 반직선 AH와 변 BC의 교점 X에 대해 AOH와 ADX가 닮음입니다.
• 이로부터 선분 AO의 길이가 $r$일 때 선분 OD가 $r/2$가 되며, DM=11.5입니다.
• 직각삼각형 OBM과 ODM에서 피타고라스를 쓰면 $r$에 대한 이차식을 구할 수 있습니다.
• 맞았습니다.

후기

• 수올스러운 수학 문제는 중2때 KMO 이후로 잡아보지 못했습니다. 오늘이 3번째 OMC인데, 이거 생각보다 재밌네요. 앞으로도 더 할 것 같습니다.
• 레이티드 중 1등입니다. 아직 provisional이라, 본의 아니게 높은 등수를 차지한 것 같습니다. 빨리 수렴하면 좋겠는데, 아마 오래 걸릴 것 같습니다.
• DeepL을 이용하면 문제 번역에는 20~30초 정도 걸립니다. 문제 푸는 데 걸린 시간에서 20초씩만 빼고 생각해도, 확실히 아직 머리 돌아가는 건 빠른 것 같다고 느낍니다. (그래봤자 딥4 올솔이랑 비슷한 timeframe으로 풀이하긴 했지만요)